よく耳にするであろうモンティ・ホール問題だけどいまいち腹落ちしない人へ
モンティ・ホール問題自体はそんなに場合分けが大変ではないので、実際に場合分けしたり絵を描いたりすると難なく理解可能
場合分けしても絵を描いても腹落ちしない人は、扉の数を1000枚にするという極端な例に置き換えると腹落ちするはず
確率が変化するのは、”情報が追加された”からで、これをベイズの定理や事後確率という
何をするにも正確な情報があることは有利であり、それは確率の世界でも同じ
今回参考になる本として、スティーブン・ピンカーさんの本を下に挙げます。
「人はどこまで合理的か」
腹落ちしないモンティ・ホール
モンティ・ホール問題を聞いたことある人はけっこういると思いますが、腹落ちしてる人は少ないのではないでしょうか？私もつい最近まで全然腹落ちしていませんでした。腹落ちどころか、本とかネットで見かける度計算してみるのですが、間違えることも度々ありました。これは記憶力悪いというのもあるだろうけど、、、
参考に一応モンティ・ホール問題貼っておきます。
プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
「モンティ・ホール問題」（2023年6月15日 (木) 12:04 UTCの版）『ウィキペディア日本語版』
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
感覚として、ドアの後ろのヤギや車の配置は変わらないから、1枚ドアが開けられたとて変更しても確率変わらんやろってなると思います。（残った扉は2枚で、どちらかにアタリ、どちらかにハズレ、よって確率は1/2だと）
現実には変更した方がアタリの確率は高まる。変更した場合のアタリの確率は2/3、変更しない場合のアタリの確率は1/3になります。
実際に場合分けすると反論の余地なし
文で書きますが、頭をしっかり整理したい人はお絵描きするとなお良いと思います。
・変更する場合（全部で３通り）
①車（選）・ヤ１（開）・ヤ２（閉）→変更で外れる
②ヤ１（選）・ヤ２（開）・車（閉）→変更でアタリ
③ヤ２（選）・ヤ１（開）・車（閉）→変更でアタリ
・変更しない場合（全部で３通り）
①車（選）・ヤ１（開）・ヤ２（閉）→変更しないでアタリ
②ヤ１（選）・ヤ２（開）・車（閉）→変更しないで外れる
③ヤ２（選）・ヤ１（開）・車（閉）→変更しないで外れる
以上から変更しないのは、車がいらない人か自分の運によっぽど自信がある人ということになります。
私は車が欲しいので変更します。。。
場合分けでもダメなら1000枚扉を用意してみろ
絵で描いてもなおまだ腹落ちしないなという人は、扉が3枚ではなく、1000枚だと考えてみましょう。モンティが998枚の扉を開けた時、あなたはドアを変更しますか？
最初に選んだ扉の裏側のパターンは1000通りで、そのうちアタリがあるのは1通りだけです。
ここまで書いたら、変更した方がアタリがひける！ということが腹落ちしきったのではないかと思います。（まだ納得できんという人は、また好きなだけ絵でも描いてみてください。。。）
腹落ちヨシ！でもなんでこんなことになるのか
これはモンティが扉を開けたことで我々に“情報が追加された”というのがキモです
ベイズの定理は皆さん知っているでしょうか？事後確率のがしっくりくる人もいるのかなと
どんなことをするにしても、情報があった方が有利なのは当たり前で、確率の世界でもそういった考え方があるんだよという話です。（ベイズの定理の難しい話はここでは触れませんが、直感的に情報があった方が確率は高くなる！と覚えておけば、明日から確率で騙される確率は減るんじゃないかな）
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